何谓数学?数学就是有关数字的一门学问?

  • A+
所属分类:数学

何谓数学?

如果你随机向人们提问,那你很可能得到的回答是"数学就是有关数字的一门学问".关于数学的描述,早在2500年前就已经存在了。

到公元前五百年左右止,数学确实是有关数字的一门学问,这是古埃及和古巴比伦时期的数学.在这些古文明中,数学是以算术(arithmetic)为主的。

“从泰勒斯开始,一切都变得不一样!”

公元前五百年到公元前三百年,是属于古希腊的时代,这一时期,数学开始脱离数字。古希腊的数学家们更关心几何(geometry).而正因古希腊人的努力,数学才开始逐渐进入了研究领域,而不再只是度量、计算等功利的取向。

他们视数学为一种知性探索,其中包含了美学与宗教的成分。在这一时期,古希腊伟大的哲学家泰勒斯(Thales)在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论,这在数学史上是一次不寻常的飞跃。
何谓数学?数学就是有关数字的一门学问?
在数学中引入逻辑证明,它的重要意义在于:保证了命题的正确性;揭示各定理之间的内在联系,使数学构成一个严密的体系,为进一步发展打下基础;使数学命题具有充分的说服力,令人深信不疑。

他曾发现了不少平面几何学的定理:

1)直径平分圆周;

2)三角形两等边对等角;

3)两条直线相交、对顶角相等;

4)三角形两角及其夹边已知,此三角形完全确定;

5)半圆所对的圆周角是直角

6)在圆的直径上的内接三角形一定是直角三角形

这些定理虽然简单,而且古埃及、古巴比伦人也许早已知道,但是,泰勒斯把它们整理成一般性的命题,论证了它们的严格性,并在实践中广泛应用。

然而,在之后的两千年中,数学的研究几乎没有任何的进展,直到17世纪中叶。从牛顿和莱布尼茨发明微积分那刻起,数学的本质就此改变。

微积分的出现

在此之前,数学大都局限于计算、度量和形状描述的静态议题上,但微积分是研究运动和变化的一门学问。

有了微积分,数学家终于可以研究行星的运行、落体运动、液体流动、疾病传染etc.因此,在牛顿和莱布尼茨之后,数学变成了研究数字、形状、运动、变化以及空间的一门学问。

“1900年,对数学人来说,是最坏的时代,也是最好的时代。”

进入20世纪,数学迎来了爆炸的时代。1900那一年,几乎所有的数学家都相信,他们已经完成了数学的伟大版图,直到当年的巴黎国际数学家大会上,希尔伯特抛出那23个问题。

数学是研究模式的科学

他们满心期待的完整版图出现了巨大的裂缝,但同时,在这个裂缝处,无尽的新知喷簿而出,照亮了整个时代。

当时世界上所有的数学知识可以装入大约八十部书籍之中。而今日,数学将必须有十万部书籍才能容纳。

1900年,数学包括了十二个主题:算术、几何、微积分等。而如今呢?代数、拓扑、复杂理论、动态系统理论…….

面对数学如此迅猛的成长,“何谓数学”这个问题也变得更难以回答。

如今,一种特定的研究之所以被归类为数学,并不是基于什么被研究,相反,是基于它通过什么方法理论研究。

直至最近几十年间,一个为大部分数学家所同意的有关数学的定义产生了:数学是研究模式的科学(science of patterns)。他们要做的,就是去检视抽象的模式——数值模式、形状的模式、运动的模式、行为的模式、投票模式etc.这些模式或静态,或动态,或定性,或定量。

“深度学习中的高阶思维”

现代,我们所学习的数学是什么?从小学到初中、高中、大学数学又有什么不同?目前高校提出的数学深度学习中,高阶思维又有什么内在含义?

让我们来举一个很有意思的例子。

初中数学 = what

高中数学 = why

大学数学 = how

大学以上的数学 = wow

明显,高中数学比初中深入,探求题目本源,大学的数学是发寻求解决方法。高中作为数学的一个分水岭,有以下几个关键点:

1.高一刚开学时(这个节点最易出问题)

课堂容量大,集合和函数内容抽象,更主要是要将字母理解为变量,建立函数思想----变量与变量之间的对应关系,再加上学习环境的改变:如家长不再像初中那样长时间的陪伴(看管),老师检查、批改作业(盯)也没有初中勤,特别是住校学生玩手机、聊闲话的时间更多了,再加上学校各项活动多,到期中考试就傻眼了.

2.初高中数学知识衔接不好

出现有几个知识点在初中不要求掌握,到高中又不讲(高中老师以为初中学过),可高中阶段又经常用,甚至在求解高考试题时使用频率都很高,例如:

(1)乘法公式

(2) 因式分解的一些特殊方法

(3)一元二次方程根的判别式、韦达定理的综合应用,一元二次方程根范围的讨论

(4)二次函数在自变量取值不是所有实数时的最值

(5)三角形角平分线性质定理,

(6) 三角形面积几种表示

(7)四点共圆判定和性质

(8)圆中的比例线段

(9)圆中弦切角定理

3.高一第二学期开学时

学习到三角函数,要用代数中的动态角代替平面几何中的静态角,来实现角和三角函数的推广,进而将旋转变量(角)转化为直线变量(实数),最终理解三角函数的周期性和周期函数.

3.高二第一学期期中后

学习到解析几何时,要用代数来研究几何问题,对字母运算要求较高,很多时候会遇到多字母运算,如何选择变量、如何选择主变量、如何减少变量,从图形入手还是从方程入手,最终目标是如何简化运算.

4.高二第二学开始

学习到立体几何时,要在平面上研究空间图形的性质及它们之间的位置关系,学习到这部分内时,要通过识图和画图来建立空间概念,提高空间想象能力,并且要学会把空间问题转化为平面问题来解决.

5.学好高中数学几点建议:

①充分认识学习数学的重要性。

②兴趣是最好的老师,如何培养学习数学兴趣?

③要积攒一定的题库。

④典型题目要做好,悟透,甚至可以反复做,达到融会贯通,以一当十的效果,特别是对基础较为薄弱的同学,尤为重要。

⑤重视自己的错题,要求及时订正但不要求全部订正,平时作业每份订正3-5道题,一份完整试卷订正20-30分就足够了,要质量不贪数量,尽量找出错误原因,寻求更优解法,力争少犯重复错。

⑥算功是学好数学的重中之重,平时不仅要多算,更要强化简算和巧算意识,优化算法是提高运算的关键,要落实到每一天、每一课、每一题,练就硬功夫需要长期积累和坚持。

⑦规范表达,工整书写是对阅卷老师的一种尊重。

再来看大学,据大学老师反映的数据,入校新生学习高等数学普遍感到困难,对大学教师的教学方法有不适应感,成绩不佳。入校的数学高考成绩同一专业差距不是很大,但半年或一年的学习后,数学基础课程(数学分析、高等代数)的成绩差异显著,两极分化现象就很严重了。主要是在自学能力、逻辑推理能力、灵活运用能力方面的欠缺。

进入大学,目的是成为未来社会需要的创造性、创新性人才。在这种大背景的环境下,在大学这种富有研究性、探索性的学习过程中,不仅需要他们有积极性、和主动性,而且还要富有创造性。

这需要学生自身把大学数学内容和高中数学学习的内容联系起来,使高中数学经过“发酵”而发展为大学数学。

对于数学的深度学习目的何在?深度学习的目标是培养高阶思维;高阶思维能力是深度学习的核心特征。以课题研究式和项目创作式为有效实施方式的“问题解决学习”是深度学习的基本模式。

高阶思维能力逐渐成为当代社会人才需求的一个重要导向。以高阶思维为核心,解决劣构问题或负责任务的心理特征,是学习高阶知识,发展高阶思维和实现知识远迁移的能力。

另外一个重要的导向是培养青少年的数学素养。2005 年发表的《数学学科专业发展战略研究报告》明确指出,数学素养主要包括五个方面的基本素质:“主动探寻并善于抓住数学问题中的背景和本质的素养;熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思想的素养;具有良好的科学态度和创新精神,合理地提出新思想、新概念,新方法的素养;对各种问题以“数学方式”的理性思维,从多角度探寻解决问题的道路的素养;善于对现实世界中的想象和过程进行合理的简化和量化,简历数学模型的素养。

数学知识是数学能力的发展基础,数学能力决定数学知识的质量,此二者是数学素养的外显形式。

简单来说,能够根据问题情境检索、重组已有的知识,根据自己的经验、采用适当的方法和程序解决问题就是最基本的数学素养。

瞬息万变的时代充满着激烈的竞争,但归更到底是人才的竞争。由于各种科学技术的核心往往是数学,交叉学科的核心也往往是数学,所以人才竞争中一个重要环节是培养一大批拥有开阔视野和创新能力的数学人才。

德国数学家克鲁尔 指出:“我们自己越是因数学的美而狂喜,就愈加会因只能使极少的人共享我们的欢乐而遗憾。。。。请记住,400年前,算术还曾是一种困难的技艺。而现在,小学中的每个孩子都必须掌握它们。也许高等数学的美。。。终将为每个受过教育的人所理解”。正如不必要人人都掌握炼钢或种菜的技术,却都需要掌握一定的“数学技术”,生活需要数学,生产需要数学,科学技术需要数学,社会发展需要数学。

林群院士说“我们在学习时很忌讳不讲发明,只讲证明;不讲道理,只讲定理。所以我希望数学文化发生改变,变成讲道理的学问,变成讲发明的科学。”

admin

发表评论

您必须才能发表评论!